Ряд — в математиці, це операція додавання нескінченної кількості величин, послідовно одна за одною, починаючи із заданої величини.
Для кожного ряду зазвичай розглядають послідовності часткових сум (ряду) та елементів (ряду).
Розглядаються числові ряди двох видів:
Важливіше питання дослідження числових рядів — це збіжність числових рядів.
Числові ряди застосовуються як система наближень до чисел.
Узагальненням поняття ряду є поняття подвійного ряду[ru].
Тривалий час, думка про те, що така потенційно нескінченна сума може мати скінченний результат, математиками і філософами розглядалася як парадокс. Цей парадокс було вирішено з виникненням поняття границі під час 19-го століття. Парадокс Зенона про Ахілла та черепаху ілюструє цю контрінтуїтивну властивість скінченних рядів: Ахілл біжить услід за черепахою, але коли він наздоганяє черепаху на початку гонки, вона вже досягає другої позиції; коли він досягає другої позиції черепахи, вона буде вже на третій позиції, і так далі. Зенон розрахував, що Ахілл ніколи не зможе досягнути черепаху, і що таким робом такого моменту не існує. Зенон розділив цю гонку на нескінченно велику кількість частин гонки, кожна з яких займає скінченну частину часу, так, що загальний час, за який Ахілл добіжить до черепахи, заданий рядом. Вирішенням цього парадоксу є те, що, хоча ряд має нескінченно велику кількість елементів, він має скінченну суму, яка і є тим часом, за який Ахілл наздожене та впіймає черепаху.
У сучасній термінології, будь-яка (впорядкована) нескінченна послідовність
з термів (що можуть бути числами, функціями, або будь-чого, що може додаватися) визначає ряд, який є операцією додавання
між собою. Аби підкреслити те, що існує нескінченна кількість термів, ряд може називатися нескінченним рядом. Такий ряд записується у вигляді такого математичного виразу:
.
Загалом понятт�� ряду виникло з поняття кільця, що часто є полем
дійсних чисел або полем
комплексних чисел. У такому разі множина всіх рядів сама собою є кільцем (або навіть асоціативною алгеброю), у якій операція додавання визначає додавання рядів поелементно, терм за термом, а множення є операцією добутку Коші[en].
Нехай
— послідовність; розглянемо також послідовність
кожен елемент якої є n-тою частковою сумою членів початкової послідовності
![{\displaystyle s_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ac9a29e284749681d184699179e0660b6693921)
Рядом називається сукупність цих двох послідовностей. Позначається:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca8126a83854341d5bf75e907ee4e12b9d4aeb20)
Тоді, за визначенням:
- Числовий ряд збігається, якщо збігається послідовність його часткових сум;
- Числовий ряд розбігається, якщо розбігається послідовність його часткових сум;
- Числовий ряд збігається абсолютно, якщо збігається ряд з модулів його членів.
Якщо числовий ряд збігається, то границя
послідовності його часткових сум має назву суми ряду:
![{\displaystyle S=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i},}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b8d0faef135ca6f18114e9eba98dbaaa2610133)
- Теорема 01
Якщо числовий ряд
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf33b91e1eb05d0530e73e355823f3c07821381)
збігається, то кінцевий член ряду
, ![{\displaystyle n\rightarrow \infty }](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9702f04f2d0e5b887b99faeeffb0c4cfd8263eee)
Доведення.
Дійсно, оскільки
,
та
,
, то
,
.
- Теорема 02
Якщо числовий ряд
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf33b91e1eb05d0530e73e355823f3c07821381)
збігається, то залишок ряду
, ![{\displaystyle n\rightarrow \infty }](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9702f04f2d0e5b887b99faeeffb0c4cfd8263eee)
Доведення.
Розглянемо
,
.
Теореми 01 та 02 дають необхідні умови збіжності ряду (1).
Для того щоб ряд (1) збігався, необхідно і достатньо, щоб
.
Цей критерій являє собою критерій Коші для числовой послідовності
.
Ряд з дійсних чисел збігається абсолютно тоді й тільки тоді, коли збігаються обидва ряди: ряд з додатних його членів і ряд з від'ємних членів.
Нехай задано два збіжні ряди
та
. Тоді:
- Їхньою сумою називається ряд
і його сама рівна
.
- Їхнім добутком за Коші називається ряд
, де ![{\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c4b3099ea12489ebb206082c981d3bf6763bba6)
Якщо обидва ряди збігаються абсолютно, то добуток рядів збігається.
Приклад 01.
Ряди
![{\displaystyle 1+1+1+\cdots +1+\cdots }](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6240ee3708857fce3b5bc6efea53e73ec5202cf9)
![{\displaystyle 1-1+1-\cdots +(-1)^{n+1}+\cdots }](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f7385e77b7a4335b31194ea89b429a362b54b46)
є розбіжними згідно з теоремою 01. Дійсно,
,
у випадку ряду (1) та
у випадку ряду (2).
Приклад 02.
Доведемо, що
Дійсно, для
.
Отже,
,
.
- Геометричний ряд — це такий ряд, ц якому кожен наступний елемент утворений множенням попереднього на стале число (що зветься сталим відношенням ряду). Наприклад:
![{\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/290acdbb1d456bb2d037bf283c0500ea1395b1c8)
- Загалом геометричний ряд
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}={\frac {1}{1-z}}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caa8fb592567aa2aa0ebda31d2ec59c8ae56b5be)
- збігається тоді й тільки тоді, коли
.
![{\displaystyle 3+{5 \over 2}+{7 \over 4}+{9 \over 8}+{11 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(3+2n) \over 2^{n}}.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01df64a75bc3eb3f54f837bdf6739208d421a6e8)
![{\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/225a4fd40fd5da8d64c4b5c3b303cf470176adfe)
- Гармонічні ряди є розбіжними, оскільки за теоремою 02
.
- Знакозмінний ряд — це ряд, у якому елементи можуть змінювати свій знак. У таких рядах доданки є як додатні, так і від'ємні. Наприклад:
(знакозмінний гармонічний ряд)
і
![{\displaystyle -1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{9}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}}{2n-1}}=-{\frac {\pi }{4}}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f5e283c0f39e83cbd2c970918113f5af3a326cc)
- Узагальнений гармонічний ряд або p-ряд:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14b722565fe15d97c09ebb6d6717f9ac02e08f40)
- збігається, коли p > 1, і є розбіжним, коли p ≤ 1. Функція відносно p, що є сумою цього ряду є дзета-функцією Рімана.
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0372ec7d32b914fc13f21b86ddec820ab4651ca)
- збігається, якщо послідовність bn збігається до границі L, притому як n прямує до нескінченності. Значення ряду тоді дорівнюватиме b1 − L.
Апроксимація числа π за допомогою ряду
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c5879dc45e14ddde7d71bc17c81f1f8cb327241)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}(4)}{2n-1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots =\pi }](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85b707c08208fff13466a98d62c7195bff68086e)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f395a65c057d60051625b3fc4b8ce94f571255)
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)}}=\ln 2}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/697e3e452c1849ecc04955921ef2a1b41fa486c3)
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+1)(n+2)}}=2\ln(2)-1}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e586464a96af921fa3ebc9278c604ea833f4ee7)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(4n^{2}-1)}}=2\ln(2)-1}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1338986f44c1b4340e041a93e276f47b922b324)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}=\ln 2}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9f59ba80cd3a9c97b5f86c42500815a48c6015f)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{3^{n}}}+{\frac {1}{4^{n}}}\right){\frac {1}{n}}=\ln 2}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12a56722684abf52238d8b7e3c14a0baa1c9df69)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n(2n-1)}}=\ln 2}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d0bf21ab1d337ddae512c52e5e8514cd92ec16b)
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots ={\frac {1}{e}}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5bb6746a560e4d88e0595fd4a4bdd33cb5bfca6)
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots =e}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af542718cfc0ad5664fc807c73a4f78b3e674d5a)