Pengguna:Hysocc/Buku/Vektor

Vektor (lebih tepatnya disebut vektor geometri, untuk membedakan dengan vektor dalam bidang ilmu lainnya) adalah objek geometri yang menggambarkan besarnya suatu besaran dan arahnya. Dalam besaran vektor, nilainya ditentukan dari arah. Hasil dari operasi vektor juga ditentukan dari arahnya.

Besaran skalar dan besaran vektor[sunting | sunting sumber]

Besaran skalar adalah besaran yang tidak memiliki arah, sehingga nilainya selalu positif. Contoh besaran skalar adalah massa, jumlah zat, dan temperatur.

Besaran vektor adalah besaran yang memiliki arah, sehingga nilainya dapat berubah-ubah tergantung arah dari besaran tersebut dan arah pengamatan. Contoh besaran vektor adalah perpindahan, kecepatan, dan gaya.

Ilustrasi besaran vektor adalah sebagai berikut. Lia bergerak menuju utara 3 langkah, dan kemudian bergerak lagi ke barat sejauh 4 langkah. Total langkah Lia adalah 7 langkah, namun dari mata teman Lia yang menjadi pengamat, Lia hanya bergerak sejauh 5 langkah. Karena Lia berbelok, total perpindahan Lia tidak dijumlah secara langsung; faktor arah gerak Lia menentukan.

Operasi vektor[sunting | sunting sumber]

Notasi

Vektor di atas dapat disebut ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ atau ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}}$.

Arah vektor

Besar vektor dapat diilustrasikan seperti gambar di atas, di mana vektor negatif merupakan kebalikan dari vektor positif. Begitu pula dengan dua kali vektor positif diilustrasikan dengan garis dua kali panjangnya.

Penjumlahan vektor

Sedangkan jika dua vektor yang berbeda besar dan arahnya dijumlah, maka dapat diilustrasikan dengan gambar di atas.

Secara umum jika dua vektor dijumlah, maka persamaan yang digunakan adalah:

${\displaystyle F_{R}^{\ 2}=F_{1}^{\ 2}+F_{2}^{\ 2}+2\ F_{1}\cdot F_{2}\cdot \cos \alpha }$

dengan ${\displaystyle \cos \alpha }$ adalah sudut yang dibentuk antara vektor ${\displaystyle F_{1}}$ dan ${\displaystyle F_{2}}$.

Jika dua vektor segaris, ${\displaystyle \alpha }$ = 0, sehingga ${\displaystyle \cos }$ 0 = 1.

${\displaystyle F_{R}^{\ 2}=F_{1}^{\ 2}+F_{2}^{\ 2}+2\ F_{1}\cdot F_{2}}$

dengan operasi kuadrat akan menjadi:

${\displaystyle F_{R}=F_{1}+F_{2}}$

Sedangkan jika kedua vektor saling berlawanan arah, maka sudut yang dibentuk adalah 180. Sedangkan ${\displaystyle \cos }$ 180 = -1. Sehingga persamaannya menjadi:

${\displaystyle F_{R}^{\ 2}=F_{1}^{\ 2}+F_{2}^{\ 2}-2\ F_{1}\cdot F_{2}}$

${\displaystyle F_{R}=F_{1}-F_{2}}$

Penguraian vektor

Vektor selain dapat dijumlahkan, juga dapat diuraikan atau diproyeksikan menjadi komponen-komponen yang dibutuhkan untuk operasi vektor yang lain, misal menjadi komponen vektor sejajar terhadap sumbu x dan y. Operasi penguraian vektor dapat dikatakan kebalikan dari penjumlahan vektor. Perhatikan gambar di bawah ini.

Vektor ${\displaystyle {\overrightarrow {r}}}$ di atas dapat diproyeksikan ke sumbu x menjadi ${\displaystyle {\overrightarrow {r_{x}}}}$, dan diproyeksikan ke sumbu y menjadi ${\displaystyle {\overrightarrow {r_{y}}}}$:

${\displaystyle {\overrightarrow {r_{x}}}=r\cos \varphi }$

${\displaystyle {\overrightarrow {r_{y}}}=r\sin \varphi }$

Contoh jika vektor ${\displaystyle {\overrightarrow {r}}}$ di atas berjarak sejauh 5 cm dan sudut ${\displaystyle \varphi }$ adalah 60°, maka ketika diuraikan ke sumbu x akan menjadi:

${\displaystyle {\overrightarrow {r_{x}}}=r\cos \varphi }$

${\displaystyle {\overrightarrow {r_{x}}}=5\cos 60^{o}}$

${\displaystyle {\overrightarrow {r_{x}}}=2.5\ cm}$

sedangkan ketika diuraikan ke sumbu y akan menjadi:

${\displaystyle {\overrightarrow {r_{y}}}=r\sin \varphi }$

${\displaystyle {\overrightarrow {r_{y}}}=5\sin 60^{o}}$

${\displaystyle {\overrightarrow {r_{y}}}=2.5{\sqrt {3}}\ cm}$